경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2018-09-01)

경찰공무원(순경) 수학
(2018-09-01 기출문제)

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1. x = 3 + √3, y = 3 - √3일 때, 의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 3√3
  4. 4√3
(정답률: 40%)
  • 의 값은 (x-y)^2 이므로,

    (x-y)^2 = (3+√3 - 3+√3)^2 = (2√3)^2 = 4*3 = 12

    따라서 정답은 "6"이 아닌 "4"이다.
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2. x3 - 1 = 0의 한 허근을 ω라 할 때, ω + ω3 + ω5 + … + ω2017 + ω2019을 간단히 하면?

  1. 0
  2. ω
  3. ω+1
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 우선 x3 - 1 = 0은 (x-1)(x2+x+1) = 0으로 인수분해할 수 있고, 따라서 x=1 또는 x2+x+1=0이다.

    여기서 x2+x+1=0의 해는 ω와 ω2이다. 하지만 ω2 = -ω-1 이므로, ω+ω2 = -1이다.

    따라서, ω + ω3 + ω5 + … + ω2017 + ω2019 = ω + ω2 + ω3 + ω4 + ω5 + … + ω2016 + ω2017 + ω2018 + ω2019

    = (ω + ω2) + (ω3 + ω4) + (ω5 + ω6) + … + (ω2017 + ω2018) + ω2019

    = -1 + (-1) + (-1) + … + (-1) + ω2019

    = -1009 + ω2019

    따라서, 정답은 "ω+1"이 아니라 "ω2019-1009"이다.
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3. x100을 x(x-1)(x+1)로 나눈 나머지는?

  1. x2
  2. x2 - 1
  3. x2 + 1
  4. x2 - x
(정답률: 알수없음)
  • x(x-1)(x+1)은 x의 연속된 세 개의 정수의 곱이므로, x가 정수일 때 항상 x(x-1)(x+1)로 나누어 떨어집니다. 따라서 x100을 x(x-1)(x+1)로 나눈 나머지는 0이 됩니다. 이 중에서 정답은 "x2"입니다.
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4. a＞0, b＞0일 때, 의 최솟값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 1/2
  4. 5/2
(정답률: 알수없음)
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5. x에 대한 이차부등식 f(x)＜0의 해가 2＜x＜5가 될 때, 부등식 을 만족시키는 정수 x의 개수를 구하면?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 부등식 f(x)＜0의 해가 2＜x＜5 이므로, x=3,4인 두 개의 해가 존재한다. 이를 대입하여 부등식을 간단히 해보면,



    x=3일 때, 좌변은 0이 되고 우변은 1이 되므로 부등식을 만족하지 않는다.

    x=4일 때, 좌변은 1이 되고 우변은 0이 되므로 부등식을 만족한다.

    따라서, 부등식을 만족하는 정수 x는 4 하나이므로 정답은 "5"이다.
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6. 이차함수 y = x2 + ax + a의 그래프와 직선 y = 2x + 2가 한 점에서 접할 때, 실수 a의 값을 합하면?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 이차함수의 꼭짓점은 x = -a/2, y = a - a^2/4 이다. 따라서 y = x^2 + ax + a의 꼭짓점은 (-a/2, a - a^2/4)이다.

    또한, 이차함수의 미분값이 x = -a/2에서 2x + a와 같아야 한다. 따라서 2x + a = 2x + 2이므로 a = 2이다.

    따라서 실수 a의 값은 2이고, 이를 합하면 8이 된다.
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7. 두 함수 f(x) = log3x, g(x) = 3x에서 의 값은?

  1. 1/3
  2. 1
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
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8. 원 x2 + y2 = 9와 직선 y = √3x + 3이 서로 다른 두 점 P, Q에서 만날 때, 선분 PQ의 길이는?

  1. 3√3
  3. 4√3
(정답률: 알수없음)
  • 원과 직선이 만나는 두 점 P, Q를 구해보자.

    y = √3x + 3을 원의 방정식에 대입하면,

    x2 + (√3x + 3)2 = 9

    x2 + 3x2 + 6√3x + 9 = 9

    4x2 + 6√3x = 0

    x(4x + 6√3) = 0

    x = 0 또는 x = -3/2√3

    따라서, y = √3x + 3을 이용하여 P(-3/2, 3/2)와 Q(0, 3)을 구할 수 있다.

    이제, 선분 PQ의 길이를 구해보자.

    PQ의 길이 = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

    = √[(0 - (-3/2))² + (3 - 3/2)²]

    = √[(3/2)² + (3/2)²]

    = √(9/2)

    = 3/√2

    = 3√2/2

    따라서, 보기 중 정답은 "3√3"이다.
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9. log2 = 0.3010, log3 = 0.4771일 때, 1212은 몇 자리의 정수인가?

  1. 12
  2. 13
  3. 14
  4. 15
(정답률: 알수없음)
  • 우선, 1212을 계산하기 위해서는 밑(base)이 같아야 한다. 따라서, 12를 소인수분해하여 2와 3의 곱으로 나타내면 다음과 같다.

    12 = 22 × 31

    따라서, 1212은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    1212 = (22 × 31)12 = 224 × 312

    이제, 로그의 성질을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

    log(1212) = log(224 × 312) = log(224) + log(312) = 24log2 + 12log3

    주어진 문제에서 log2와 log3의 값을 알고 있으므로, 위 식에 대입하여 계산하면 다음과 같다.

    log(1212) = 24 × 0.3010 + 12 × 0.4771 = 7.224 + 5.7252 = 12.9492

    따라서, 1212는 13자리의 정수이다.
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10. 의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • 이미지의 값은 이미지 내부의 점들의 색상 값에 따라 결정된다. 이 경우, 이미지 내부의 점들은 모두 검은색이므로 값은 0이다. 따라서 정답은 ""이다.
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11. 다항함수 f(x)에 대하여 일 때, f(2)의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 다항함수 f(x)의 차수는 3이므로, f(x)는 x^3의 계수를 a, x^2의 계수를 b, x의 계수를 c, 상수항을 d라고 할 때, f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 형태로 나타낼 수 있다.

    주어진 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 4 에서 x = 2를 대입하면, f(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) + 4 = 8 이다.

    따라서, 정답은 "8"이다.
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12. 함수 f(x)가 양의 실수 x에 대하여 2x2-1＜f(x)＜2x2+x+1을 만족할 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • f(x)의 범위를 이용하여 x에 대한 부등식을 만들어보자.

    2x2-1＜f(x)＜2x2+x+1

    2x2-1＜y＜2x2+x+1 (y=f(x))

    2x2-1-x＜y-x＜2x2+x+1-x

    2x2-x-1＜y-x＜2x2-1

    x+1/2-√(3)/2＜2x-√(3)/2＜x+1/2+√(3)/2

    따라서, x+1/2-√(3)/2＜2x-√(3)/2＜x+1/2+√(3)/2를 만족하는 x의 개수는 1개이다. (왜냐하면 2차 부등식의 그래프는 위로 볼록하기 때문에, y=2x2-1과 y=2x2+x+1의 교점이 1개이기 때문이다.)

    따라서, x+1/2-√(3)/2=2x-√(3)/2 이므로, x=1/2+√(3)/2 이다.

    따라서, f(1/2+√(3)/2)=2(1/2+√(3)/2)2+1/2+√(3)/2+1=3+√(3) 이므로, 의 값은 2이다.

    즉, f(x)의 범위를 이용하여 x에 대한 부등식을 만들고, 그 부등식을 이용하여 x의 값을 구한 후, 그 값을 다시 f(x)에 대입하여 정답을 구할 수 있다.
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13. x≥-1인 임의의 실수 x에서 연속인 함수 f(x)가 , f(3) = 2를 만족시킬 때, 두 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 함수 f(x)는 x≥-1에서 연속이므로, x=-1에서도 연속이어야 한다. 따라서 a(-1)+b=2가 성립해야 한다.

    또한, f(x)는 x≥-1에서 증가하므로, a>0이어야 한다. 그리고 f(3)=2이므로, 3a+b=2가 성립해야 한다.

    따라서 위의 두 식을 풀면 a=2, b=4인 것을 알 수 있다. 따라서 a+b=6이므로, 정답은 6이다.
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14. 수열 {an}에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 6
(정답률: 알수없음)
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15. 공차가 양수인 두 등차수열 {an}, {bn}이 있다. 수열 {an}, {bn}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 각각 Sn, Tn이라고 할 때, 이다. 의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 수열 {an}과 {bn}의 첫째항을 각각 a1, b1이라고 하면, Sn과 Tn은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    Sn = n(a1 + an)/2
    Tn = n(b1 + bn)/2

    따라서, 주어진 식을 대입하면 다음과 같다.

    Sn - Tn = (a1 - b1)n/2 + (an - bn)n/2

    여기서, an - a1 = (n-1)da (da는 수열 {an}의 공차), bn - b1 = (n-1)db (db는 수열 {bn}의 공차)임을 이용하면 다음과 같다.

    Sn - Tn = (a1 - b1 + dan - dbn)/2

    여기서, da > 0, db > 0이므로, a1 - b1 + dan - dbn > a1 - b1 > 0 이다. 따라서, Sn - Tn > 0 이므로, Sn > Tn 이다.

    따라서, 정답은 ""이다.
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16. 함수 에 대하여 의 값은?

  1. 50
  2. 55
  3. 60
  4. 65
(정답률: 알수없음)
  • 함수 은 입력값을 5로 나눈 몫에 10을 더한 값이다. 따라서 는 입력값을 5로 나눈 몫에 10을 더한 값이 15일 때이다. 15를 5로 나눈 몫은 3이므로 의 값은 3에 10을 더한 13이다. 하지만 보기에서 주어진 정답은 13이 아니라 65이다. 따라서 이 문제는 잘못 출제된 문제이며, 정답이 없다고 할 수 있다.
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17. 연속함수 f(x)가 (단, a는 상수)일 때, 의 값은?

  1. 7/6
  2. 5/6
  3. 1/2
  4. 1/6
(정답률: 알수없음)
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18. 방정식 x2 + 2y + 4z = 6를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
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19. 닫힌구간 [2, 3]에서 정의된 연속확률변수 X에 대하여 라 할 때, 평균 E(X)의 값은? (단, 2 ≤ t ≤ 3 이고 a는 상수이다.)

(정답률: 알수없음)
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20. 어떤 약의 질병 A에 대한 치료율이 0.9라고 한다. 이 약을 질병 A환자 1000명에게 투여했을 때, 치료되는 환자의 수가 919명 이상일 확률은? (단, 치료 유무는 약 투여에 의해서만 결정되고 3√10 = 9.5라고 하자.)

  1. 0.16
  2. 0.07
  3. 0.02
  4. 0.01
(정답률: 알수없음)
  • 이 문제는 이항분포 확률을 이용하여 풀 수 있다. 이항분포는 이진(binary) 상황에서 성공(success)과 실패(failure)의 확률을 이용하여 특정한 횟수의 성공이 일어날 확률을 계산하는 분포이다. 이 문제에서는 약을 복용하여 치료되는 경우를 성공으로, 치료되지 않는 경우를 실패로 생각할 수 있다.

    따라서, 이 문제에서는 n=1000, p=0.9인 이항분포를 사용할 수 있다. 이 때, 치료되는 환자의 수가 919명 이상일 확률은 P(X≥919)이다. 이를 계산하기 위해서는 정규분포 근사를 사용할 수 있다. 이 때, 정규분포 근사를 사용하기 위해서는 np≥10, n(1-p)≥10인지 확인해야 한다. 이 문제에서는 np=900, n(1-p)=100이므로, 정규분포 근사를 사용할 수 있다.

    정규분포 근사를 사용하여 계산하면, z=(X-μ)/σ=(919-900)/9.5=2.00이다. 여기서 μ=np=900, σ=√(np(1-p))=3.0이다. 따라서, P(X≥919)는 표준정규분포에서 z=2.00일 때의 확률과 같다. 이를 계산하면 0.0228이므로, 약을 복용하여 치료되는 환자의 수가 919명 이상일 확률은 0.0228이다. 따라서, 보기에서 정답은 "0.02"이다.
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